Dr. Onno Damsté volgde het voetspoor van zijn vader, de classicus prof. dr. Pieter Helbert Damsté. Hij promoveerde in 1922 in Utrecht op het proefschrift Adversaria ad Apollonii Rhodii Argonautica (‘Opmerkingen bij de Argonautica van Apollonius Rhodius’). Na zijn studie was hij voortdurend werkzaam als leraar klassieke talen, o.a. aan het Vossius-gymnasium en later als conrector van het Spinoza-lyceum te Amsterdam. In de periode 1922-1926 was hij leraar aan de Algemene Middelbare School te Bandung (Indonesië).
Tijdens de Tweede Wereldoorlog werd Damsté 1942 door de Duitse bezetter opgesloten in Kamp Sint-Michielsgestel.
Hij was een bekwaam naverteller van klassieke verhalende stof, welke hij op een toegankelijke wijze weergaf.